Definicja całki oznaczonej Riemanna

Niech $ f:[a,b] \to \mathbb{R} $ będzie funkcją ograniczoną. Dla każdej liczby naturalnej $ n $ wybierzmy pewne elementy $ x_0, \ldots, x_n $ należące do przedziału $ [a,b] $, które spełniają następujące zależności:

$ a=x_0\lt x_1\lt\ldots\lt x_n=b. $

Zbiór $ \Delta_n=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\} $ nazywamy $ n $-tym podziałem przedziału $ [a,b] $ odpowiadającym ustalonej liczbie $ n $. Dla $ n $-tego podziału przedziału $ [a,b] $ oznaczmy przez $ \Delta x_k $ długość dowolnego podprzedziału $ [x_{k-1},x_k] $, tzn.

$ \Delta x_k=x_k - x_{k-1}, $

gdzie $ k \in \{1,2,\ldots,n\} $. Liczbę $ \Delta x_k $ nazywamy średnicą podprzedziału $ [x_{k-1},x_k] $. Niech $ \delta_n $ będzie największą ze średnic wszystkich podprzedziałów $ [x_{k-1},x_k] $ występujących w $ n $-tym podziale przedziału $ [a,b] $, czyli

$ \delta_n=\max \{ \Delta x_k : k =1,2,\ldots,n \}. $

Następnie dla każdego $ k \in \{1,2,\ldots,n\} $ wybierzmy pewien element $ \xi_k \in [x_{k-1},x_k] $ zwany punktem pośrednim podziału $ \Delta_n $.

Definicja 1: n-ta suma całkowa Riemanna

Niech

$ S_n=\sum\limits_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k. $

Powyższą sumę $ S_n $ nazywamy $ n $-tą sumą całkową Riemanna funkcji $ f $ w przedziale $ [a,b] $.

Definicja 2: Normalny ciąg podziałów przedziału

Mówimy, że ciąg $ (\Delta_n)_{n=1}^{\infty} $ podziałów przedziału $ [a,b] $ jest normalny, jeżeli $ \lim\limits_{n \to \infty}\delta_n=0 $.

Oznacza to de facto, że gdy $ n $ rośnie, to uzyskane podprzedziały (czyli części, na które dzielimy przedział $ [a,b] $) są coraz mniejsze.

$Interpretacja geometryczna przykładowej $n$-tej sumy całkowej Riemanna dla $n=4$$

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna przykładowej $n$-tej sumy całkowej Riemanna dla $n=4$

$Interpretacja geometryczna przykładowej $n$-tej sumy całkowej Riemanna$

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna przykładowej $n$-tej sumy całkowej Riemanna

Przejdźmy do definicji całki oznaczonej Riemanna funkcji ograniczonej.

Definicja 3: Całka oznaczona Riemanna

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu $ (\Delta_n)_{n=1}^{\infty} $ podziałów przedziału $ [a,b] $ ciąg $ (S_n)_{n=1}^{\infty} $ $ n $-tych sum całkowych Riemanna jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich $ \xi_k $ ( $ k=1,\ldots,n $), to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji $ f $ na przedziale $ [a,b] $ i oznaczamy symbolem $ \int_a^b f(x) dx $, tzn.

$ I=\int\limits_a^b f(x) dx := \lim\limits_{n \to \infty} S_n. $

$Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Riemanna funkcji $f$$

Rysunek 3: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Riemanna funkcji $f$

W powyższej całce liczbę $ a $ nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę $ b $ górną granicą całkowania, natomiast $ f $ funkcją podcałkową. Jeżeli $ a $ i $ b $ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $ a \lt b $, to przyjmujemy, że

$ \int\limits_b^a f(x) dx := - \int\limits_a^b f(x) dx. $

Ponadto dla liczby rzeczywistej $ a $ przyjmujemy, że

$ \int\limits_a^a f(x) dx := 0. $

Przyjrzyjmy się, w jaki sposób można obliczyć całkę oznaczoną Riemanna korzystając z jej definicji.

Przykład 1:

Obliczmy całkę oznaczoną funkcji stałej $ f $ przyjmującej wartość $ c \in \mathbb{R} $ na przedziale $ [a,b] $. Funkcja $ f $ jest ograniczona. Rozważając dowolny ciąg podziałów normalnych $ (\Delta_n)_{n=1}^{\infty} $ odcinka $ [a,b] $ niezależnie od wyboru punktów pośrednich $ \xi_k $ otrzymujemy

$ \int\limits_a^b c dx=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n c \Delta x_k=c \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n \Delta x_k=c \lim\limits_{n\to\infty} [(x_1-x_0)+\ldots +(x_n-x_{n-1})]=c \lim\limits_{n\to\infty} (b-a)=c(b-a). $

Wykażemy teraz, że nie każda funkcja ograniczona jest całkowalna.

Przykład 2:

Zdefiniujmy tzw. funkcję Dirichleta za pomocą następującego przepisu:

$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{ gdy } x \in \mathbb{Q},\\ 0, & \text{ gdy } x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, \end{array} \right. $

gdzie $ (\mathbb {Q}) $ jest zbiorem liczb wymiernych.

Funkcja $ (f) $ jest ograniczona. Rozważmy dowolny przedział $ [a,b] $ zawarty w $ (\mathbb{R}) $. Dla każdej liczby naturalnej $ (n) $ wybierzmy dowolny podział $ (\Delta_n) $ odcinka $ [a,b] $ tak, aby ciąg $ (\Delta_n)_{n=1}^{\infty}) $ był normalnym ciągiem podziałów tego odcinka. Następnie wybierzmy ciąg punktów pośrednich $ ( (\xi_{k})_{k=1}^{n}) $ tego podziału, które należą do zbioru liczb wymiernych, i utwórzmy $ (n) $-tą sumę całkową Riemanna $ (S_n) $. Okazuje się, że skoro dla wszystkich liczb wymiernych funkcja $ (f) $ przyjmuje stale wartość 1, to

$ S_n=\sum\limits_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k= \sum\limits_{k=1}^n 1 \cdot \Delta x_k=1. $

Podobnie, wybierzmy ciąg punktów pośrednich $ (\widetilde{\xi_{k}})_{k=1}^{n}) $ ustalonego podziału w taki sposób, aby należały one do zbioru liczb niewymiernych, oraz utwórzmy $ (n) $-tą sumę całkową Riemanna $ (\widetilde{S_n}) $. Wiadomo, że dla dowolnej liczby niewymiernej funkcja $ (f) $ przyjmuje wartość 0, zatem

$ \widetilde{S_n}=\sum\limits_{k=1}^n f(\widetilde{\xi_k})\Delta x_k= \sum\limits_{k=1}^n 0 \cdot \Delta x_k=0. $

Granice obu ciągów $ (n) $-tych sum całkowych Riemanna są różne, a więc całka $ (\int_a^b f(x) dx) $ nie istnieje.

Twierdzenie 1: Warunek wystarczający całkowalności

Jeżeli funkcja $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ jest ciągła, to jest ona całkowalna w przedziale $ [a,b] $.

Przykład 3:

Obliczmy całkę oznaczoną $ (\int_1^3 x dx) $, korzystając z jej definicji. Funkcja podcałkowa $ ( f(x)=x) $ jest oczywiście ciągła, zatem na mocy twierdzenia Warunek wystarczający całkowalności całka ta istnieje. Wobec tego przy dowolnym wyborze ciągu podziałów normalnych odcinka $ [1,3] $ oraz układu punktów pośrednich ciąg $ (n) $-tych sum całkowych Riemanna $ (S_n)_{n=1}^{\infty}) $ jest zawsze zbieżny do tej samej granicy. Możemy więc wybrać jeden szczególny ciąg podziałów normalnych $ (\Delta_n)_{n=1}^{\infty}) $ odcinka $ [1,3] $ oraz układy punktów pośrednich w taki sposób, aby wygodnie było obliczyć granicę $ (\lim\limits_{n \to \infty} S_n) $. Otóż dla ustalonego $ (n) $ wybierzmy punkty podziału $ (x_k=1+\frac{2}{n}k) (k=0,\ldots,n) $ oraz punkty pośrednie $ (xi_k=x_k) (k =1,\ldots,n) $. Wówczas każdy z odcinków $ [x_{k-1},x_k] $ ma tę samą długość $ (\Delta x_k =\frac{2}{n}) $. Oznacza to, że

$ \delta_n=\max \{\Delta x_k : k = 1,2,\ldots,n\}=\frac{2}{n}, $

a w rezultacie $ (\lim\limits_{n \to \infty} \delta_n=0) $. Uwzględniając to, że

$ S_n= \sum\limits_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k= \sum\limits_{k=1}^n \Big(1+\frac{2}{n}k\Big)\frac{2}{n}, $

możemy wykonać następujące obliczenia:

$ \begin{aligned} \int\limits_1^3 x dx &= \lim\limits_{n \to \infty} S_n= \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \Big(1+\frac{2}{n}k\Big)\frac{2}{n}= \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \Big(\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}k\Big)\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \Big(\frac{2}{n}\sum_{k=1}^n 1+\frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n k\Big)= \lim\limits_{n \to \infty} \Big(2+2 \frac{1+n}{n}\Big)=4,\end{aligned} $

mając na uwadze, że $ \frac{(n+1)n}{2} $ jest sumą kolejnych liczb $ 1, \ldots, n $.

Twierdzenie 2: o całkowalności funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości

Jeżeli funkcja $ f: [a,b] \to \mathbb{R} $ ma skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale $ [a,b] $, to jest ona całkowalna w tym przedziale.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka